题目内容
已知函数f（x）=（a+1）lnx+x2-x （a∈R），
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设a＞0，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），均有f（x1）-f（x2）＞3|x1-x2|，求a的取值范围．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）设a＞0，如果对任意x1，x2∈（0，+∞），均有f（x1）-f（x2）＞3|x1-x2|，求a的取值范围．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）当a=1时，求函数的导数即可求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）将不等式进行转化，即可得到结论．
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系即可讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）将不等式进行转化，即可得到结论．
解答：
解：（I）由题，a=1时，f（1）=0，f′（1）=3，故所求切线方程为3x-y-3=0； …（4分）
（Ⅱ） f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=
+2x-1=
，△=1-8（a+1）=-8a-7，
①a≥-
时，f（x）在（0，+∞）上为增函数；
②-1＜a＜-
时，f（x）增区间为（0，
），（
，+∞），
减区间为（
，
）；
③a≤-1时，f（x）增区间为），（
，+∞），减区间为（0，
）；（8分）
（ III） 由（ II）a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，不妨设x1＞x2，
则有f（x1）-f（x2）＞3（x1-x2），即f（x1）-x1＞f（x2）-3x2恒成立，
故y=f（x）-3x在（0，+∞）上为增函数，y′=
+2x-4≥0，
即2
-4≥0，
解得a≥1，
即a的取值范围是[1，+∞）．
（Ⅱ） f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=
| a+1 |
| x |
| 2x2-x+a+1 |
| x |
①a≥-
| 7 |
| 8 |
②-1＜a＜-
| 7 |
| 8 |
1-
| ||
| 4 |
1+
| ||
| 4 |
减区间为（
1-
| ||
| 4 |
1+
| ||
| 4 |
③a≤-1时，f（x）增区间为），（
1+
| ||
| 4 |
1-
| ||
| 4 |
（ III） 由（ II）a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，不妨设x1＞x2，
则有f（x1）-f（x2）＞3（x1-x2），即f（x1）-x1＞f（x2）-3x2恒成立，
故y=f（x）-3x在（0，+∞）上为增函数，y′=
| a+1 |
| x |
即2
| 2(a+1) |
解得a≥1，
即a的取值范围是[1，+∞）．
点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及函数单调性和最值与导数之间的关系，综合性较强，运算量较大．
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如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点，设| AB |
| a |
| AD |
| b |
| AA1 |
| c |
| MN |
| a |
| b |
| c |
A、x=
| ||||||
B、x=
| ||||||
C、x=
| ||||||
D、x=
|
已知a=20.1，b=ln0.1，c=sin1，则（ ）
| A、a＞b＞c |
| B、a＞c＞b |
| C、c＞a＞b |
| D、b＞a＞c |