Question

已知函数f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1（x∈R），则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的序号）．
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于x=

π

2

对称；
③f（x）的最小值为

2

-2；
④f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z）；
⑤f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点，则n的取值范围为1.007.5＜n＜1008．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：把函数f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1化为f（x）=

1+|sin2x|

-sin2x-1，然后直接由周期的定义求周期判断①；
由f(

π

4

)≠f(

3π

4

)判断②；换元后利用二次函数求最值判断③；借助于复合函数的单调性判断④；求出函数在（0，π]内的零点后分析使得f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点的n的取值范围判断⑤．

解答： 解：f（x）=|sinx|+|cosx|-sin2x-1=

1+|sin2x|

-sin2x-1．
∵f（x+π）=f（x），∴f（x）是周期为π的函数，①正确；
∵f(

π

4

)≠f(

3π

4

)，∴f（x）的图象不关于x=

π

2

对称，②错误；
∵f（x）是周期为π的函数，故只需研究f（x）在（0，π]上的最小值，
当0≤sin2x≤1时，即x∈（0，

π

2

]时，f（x）=

1+sin2x

-sin2x-1，令t=

1+sin2x

，
则f（x）转化为g（t）=-t²+t，t∈[1，

2

]，求得g（t）∈[

2

-2，0]；
当-1≤sin2x≤0时，即x∈（

π

2

，π]时，同理求得g（t）∈[0，

2

]．
∴f（x）的最小值为

2

-2，命题③正确；
由③可知，当x∈（0，

π

2

]，即t∈[1，

2

]时，g（t）在[1，

2

]上单调递减，
f（x）=

1+sin2x

在（0，

π

4

]上递增，在(

π

4

，

π

2

]上递减，
∴f（x）在（0，

π

4

]上递减，在(

π

4

，

π

2

]上递增．
当x∈（

π

2

，π]时，同理可得f（x）在(

π

2

，

3π

4

]上递增，在(

3π

4

，π]上递减．
∵f（x）为连续函数，故f（x）在[

π

4

，

3π

4

]上递增．
又f（x）的周期为π，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z），④正确；
由已知函数解析式知，当且仅当sin2x=0时，f（x）=0，
当x∈（0，π]时，f（x）有且仅有两个零点分别为

π

2

，π，
∵2015=2×1007+1，
∴当1007.5＜n≤1008时，f（x）在（0，nπ）内恰有2015个零点错误．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，训练了与三角函数有关的复合函数单调性的求法，是中档题．