Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数f（x）在某区间的最小值，先求该函数的导函数，再判断单调性，因为t是参数，要进行分类讨论；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，2f（x）≥g（x）恒成立，就是求函数的最值问题，
（Ⅲ）本题设m（x）=xlnx＞

x

e2

-

2

e

 (x∈(0，+∞))，也是求m（x）=xlnx的最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1，
当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
①0＜t＜

1

e

＜t+1，即0＜t＜

1

e

时，f（x）_min=f(

1

e

)=-

1

e

，f（x）_min=f（t）=tlnt
②

1

e

≤t＜t+1，即t≥

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt，
∴f(x)min=

- 1 e ，  0＜t＜ 1 e tlnt，  t≥ 1 e

（Ⅱ）2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

，
设h（x）=2lnx+x+

3

x

，x＞0，则h′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
①x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）_min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤4．
（Ⅲ）问题等价于证明xlnx＞

x

e2

-

2

e

 (x∈(0，+∞))，
由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，当且仅当x=

1

e

时取到，
设m（x）=xlnx＞

x

e2

-

2

e

 (x∈(0，+∞))，则m′(x)=

1-x

ex

，
易知m(x)min=m(1)=-

1

e

，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

点评：本题考查了导数在函数的单调性，最值的应用，注意求参数时分类讨论，以及注意定义域．