Question

（文）已知定义在N^*上的函数f（x），对任意正整数n₁、n₂，都有f（n₁+n₂）=1+f（n₁）+f（n₂），且f（1）=1．
（1）若对任意正整数n，有a_n=f（2ⁿ）+1，求a₁、a₂的值，并证明{a_n}为等比数列；
（2）若对任意正整数n，f（n）使得不等式

f(n)

2n

＜

3

8

log₂（x+1）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据条件求出a_n=f（2ⁿ）+1的表达式，利用等比数列的定义即可证明{a_n}为等比数列；
（2）构造数列，利用数列的特点判断数列的单调性，将不等式恒成立，转化为最值问题即可得到结论．

解答： 解：（1）令n₁=n₂=1，得f（2）=1+f（1）+f（1），
则f（2）=3，a₁=f（2）+1=4…1分
令n₁=n₂=2，得f（4）=1+f（2）+f（2），则f（4）=7，a₂=f（4）+1=8…2分
令n1=n2=2n，得f（2ⁿ+2ⁿ）=1+f（2ⁿ）+f（2ⁿ），
即f（2ⁿ⁺¹）=1+2f（2ⁿ），…4分
则f（2ⁿ⁺¹）+1=2[1+f（2ⁿ）]，a_n+1=2a_n
所以，数列{a_n}是等比数列，公比q=2，首项a₁=4．…6分
（2）令n₁=n，n₂=1，得f（n+1）=1+f（1）+f（n），即f（n+1）=f（n）+2
则{f（n）}是等差数列，公差为2，首项f（1）=1．
故f（n）=1+（n-1）•2=2n-1．…8分
设g(n)=

f(n)

2n

=

2n-1

2n

，则g(n+1)-g(n)=

2n+1

2n+1

-

2n-1

2n

=

3-2n

2n+1

当n=1时，g（n+1）-g（n）＞0，即g（2）＞g（1）
当n≥2时，g（n+1）-g（n）＜0，即n≥2时，{g（n）}是递减数列．
所以，gmax=g(2)=

3

4

…11分
从而

3

8

log2(x+1)＞

3

4

，即log₂（x+1）＞2…12分
则

x+1＞0 x+1＞4

，解得x∈（3，+∞）．…14分．

点评：本题主要考查等比数列的判断和证明，以及利用数列求不等式恒成立问题，综合性较强，考查学生的计算能力．