Question

某射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手的命中率P与目标距离x（米）的关系为P（x）=

k

x2

，且在100米处击中目标的概率为

1

2

，假设各次射击相互独立．
（Ⅰ）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；
（Ⅱ）求这名射手在比赛中得分ξ的分布列与数学期望E（ξ）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A，B，C，“三次都未击中”为事件D，由此利用对立事件概率计算公式能求出这名射手在射击比赛中命中目标的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A，B，C，
“三次都未击中”为事件D，
则P（A）=

1

2

，∵x=100时，P（A）=

1

2

，∴k=5000，
∴P（x）=

5000

x2

，
P(B)=

5000

1502

=

2

9

，
P(C)=

5000

2002

=

1

8

，
P(D)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
∴这名射手在射击比赛中命中目标的概率为：
1-P(D)=

95

144

．
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3，
P(ξ=3)=

1

2

，
P(ξ=2)=

1

2

×

2

9

=

1

9

，
P(ξ=1)=

1

2

×

7

9

×

1

8

=

7

144

，
P(ξ=0)=

1

2

×

7

9

×

7

8

=

49

144

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	49 144	7 144	1 9	1 2

E(ξ)=3×

1

2

+2×

1

9

+1×

7

144

+0×

49

144

=

85

48

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．