Question

过原点的直线交双曲线xy=

2

于P、Q两点，现将坐标平面沿x轴折成直二面角，则折后线段PQ的长度的最小值等于（　　）

• A、4
• B、2

  2

• C、2
• D、

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程,空间位置关系与距离,空间角

分析：过P点向x轴作垂线，垂足为C，过Q点x轴作垂线，垂足为D，分别求出PC，QD，CD的长，然后代入异面直线上两点间的距离公式，即可求得．

解答： 解：由题意可设P(x0，

2

x0

) ，Q(-x0，-

2

x0

)（x₀＞0），
过P点向x轴作垂线，垂足为C，过Q点向x轴作垂线，垂足为D，
则PC=QD=|

2

x0

|，CD=2|x₀|，
则由异面直线上两点间的距离公式，
可得折后|PQ|²=（2x₀）²+（

2

x0

）²+（

2

x0

）²-2•（

2

x0

）²•cos90°=4x₀²+

4

x02

≥8，
故当且仅当x₀=1，|PQ|的最小值为2

2

，
故选B．

点评：本题考查的知识点是双曲线方程和运用，空间点到点的距离，其中熟练掌握异面直线上两点之间的距离公式，是解答本题的关键．