Question

给出以下四个命题：
①“正三角形都相似”的逆命题；
②已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是

2

，则xy=100；
③“-3＜m＜5”是“方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1表示椭圆”的必要不充分条件；
④△ABC中，顶点A，B的坐标为A（-2，0），B（2，0），则直角顶点C的轨迹方程是x²+y²=4
其中正确命题的序号是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①，写出“正三角形都相似”的逆命题，判断即可；
②，依题意，可求得xy=96，可判断②；
③，利用充分必要条件的概念可判断③；
④，依题意，可求得直角顶点C的轨迹方程是x²+y²=4（x≠±2），可判断④．

解答： 解：①，“正三角形都相似”的逆命题为“相似三角形都是正三角形”，错误；
②，∵样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差是

2

，
∴9+10+11+x+y=50，

1

5

[（9-10）²+（10-10）²+（11-10）²+（x-10）²+（y-10）²]=2，
则x+y=20，（x+y）²-2xy-20（x+y）+200=2×5-2=8，
解得：xy=96，故②错误；
③，∵方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1表示椭圆，∴

5-m＞0 m+3＞0 5-m≠m+3

，解得-3＜m＜5且m≠1，
∵（-3，1）∪（1，5）?（-3，5），
∴“-3＜m＜5”不是“方程

x2

5-m

+

y2

m+3

=1表示椭圆”的必要不充分条件，故③正确；
④，△ABC中，顶点A，B的坐标为A（-2，0），B（2，0），则直角顶点C的轨迹方程是x²+y²=4（x≠±2），故④错误．
故答案为：③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查逆命题、充分必要条件的概念及应用，考查轨迹方程的确定，属于中档题．