Question

设f（x）=（x+1）+（x+1）²+…+（x+1）ⁿ，且f（x）中所有项的系数和为A_n，则

lim

n→∞

An

2n

的值为（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、-

  1

  2

• D、-2

Answer 1

考点：极限及其运算,等比数列的前n项和

专题：导数的综合应用

分析：（x+1）ⁿ的所有项的系数和为2ⁿ．再利用等比数列的前n项和公式可得f（x）=（x+1）+（x+1）²+…+（x+1）ⁿ，且f（x）中所有项的系数和为A_n=

2×(2n-1)

2-1

，利用数列极限运算法则即可得出．

解答： 解：∵（x+1）ⁿ的所有项的系数和为2ⁿ．
∴f（x）=（x+1）+（x+1）²+…+（x+1）ⁿ，且f（x）中所有项的系数和为A_n=2+2²+…+2ⁿ=

2×(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
∴

lim

n→∞

An

2n

=

lim

n→∞

2n+1-2

2n

=2．
故选：A．

点评：本题考查了二项式定理的性质、等比数列的前n项和公式、数列极限运算法则，属于基础题．