Question

已知奇函数f（x）在x＞0时，f（x）=

1

3

x³-lnx，则f（x）在[-2，-

1

2

]上的值域为（　　）

• A、[-ln2-

  1

  24

  ，-

  1

  3

  ]
• B、[ln2-

  8

  3

  ，-ln2-

  1

  24

  ]
• C、[ln2-

  8

  3

  ，-

  1

  3

  ]
• D、[-

  1

  3

  ，ln2]

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用奇函数的性质可得函数f（x）的解析式，再利用导数研究函数的单调性、极值与最值即可得出．

解答： 解：设x＜0，则-x＞0．
∵x＞0时，f（x）=

1

3

x³-lnx，
∴f（-x）=-

1

3

x³-ln（-x），
函数f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

1

3

x³+ln（-x），
f′（x）=x²+

1

x

=

x3+1

x

，
令f′（x）=0，解得x=-1．
当x∈[-2，-1）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当x∈（-1，-

1

2

]时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=-1时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（-1）=-

1

3

．
而f（-2）=ln2-

8

3

，f（-

1

2

）=

1

24

-ln2．
∴f（-2）＜f（-

1

2

）．
∴f（x）在区间[-2，-

1

2

]上的值域为[ln2-

8

3

，-

1

3

]．
故选C．

点评：本题考查了函数奇偶性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．