Question

已知函数f（x）=2

3

sin（

π

4

x）在同一半周期内的图象过点O，P，Q，其中O为坐标原点，P为函数图象的最高点，Q为函数f（x）的图象与x轴的正半轴的交点．
（1）试判断△OPQ的形状，并说明理由．
（2）若将△OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角a（0＜a＜

π

2

）时，顶点P，Q，恰好同时落在曲线y=

k

x

（x＞0）上（如图所示），求实数k的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）先求函数f（x）的周期，从而可求|OQ|，由P为函数图象的最高点，可得|OP|的值，又由Q坐标，可求|PQ|，从而可证△OPQ为等边三角形．
（2）由|OP|=|OQ|=4，得点P′，Q′的坐标分别为（4cos（α+

π

3

），4sin（α+

π

3

）），（4cosα，4sinα），由

k=16cos(α+ π 3 )sin(α+ π 3 ) k=16sinαcosα

，可解得sin2α=

1

2

．从而可得所求实数k的值．

解答： 解：（1）△OPQ为等边三角形．
理由如下：
∵函数f（x）=2

3

sin（

π

4

x），
∴T=

2π

π 4

=8，∴函数f（x）的半周期为4，
∴|OQ|=4，
∵P为函数图象的最高点，
∴点P的坐标为（2，2

3

），∴|OP|=4
又∵Q坐标为（4，0），∴|PQ|=

(2-4)2+(2 3 -0)2

=4，
∴△OPQ为等边三角形．
（2）由（1）知，|OP|=|OQ|=4，
∴点P′，Q′的坐标分别为（4cos（α+

π

3

），4sin（α+

π

3

）），（4cosα，4sinα），
∵点P′，Q′在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴

k=16cos(α+ π 3 )sin(α+ π 3 ) k=16sinαcosα

∴

k=8sin(2α+ 2π 3 ) k=8sin2α

消去k得，sin2α=sin（2α+

2π

3

），
∴sin2α=sin2αcos

2π

3

+cos2αsin

2π

3

∴

3

2

sin2α=

3

2

cos2α
∴tan2α=

3

3

∵0＜a＜

π

2

∴2α=

π

6

∴sin2α=

1

2

．
∴k=4．即所求实数k的值为4．

点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，反比例函数的性质，二倍角公式等基础知识，考察运算能力，考察数形结合思想，化归与转化思想，函数与方程思想，属于中档题．