题目内容
一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P，如果：将容器倒置，水面也恰好过点P有下列四个命题：
①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；
②若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；
③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P；
④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P．
其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）
①正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；
②若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；
③将容器侧面水平放置时，水面恰好经过点P；
④任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P．
其中正确命题的序号为
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：空间位置关系与距离
分析：设图（1）水的高度为h2，几何体的高为h1，由已知得h1=
h2；当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点；当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，水的体积为
b2h2＞
b2h2．由此能求出正确命题．
| 5 |
| 3 |
| 25 |
| 36 |
| 2 |
| 3 |
解答：
解：设图（1）水的高度为h2，几何体的高为h1，
图（2）中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），
所以
b2h2=b2（h1-h2），
所以h1=
h2，故②正确．
当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，
故①错误，③正确．
假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
经计算得水的体积为
b2h2＞
b2h2，矛盾，故④不正确．
故答案为：②③．
图（2）中水的体积为b2h1-b2h2=b2（h1-h2），
所以
| 2 |
| 3 |
所以h1=
| 5 |
| 3 |
当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，
故①错误，③正确．
假设④正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
经计算得水的体积为
| 25 |
| 36 |
| 2 |
| 3 |
故答案为：②③．
点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
高效智能课时作业系列答案
相关题目
在梯形ABCD中，AB∥CD，如果分别以下列各选项所给的内容作为已知条件，那么其中不能确定BD长度的选项是（ ）| A、AC=4，∠ABD=45°，∠ACD=30° | ||
B、AB=2，CD=2
| ||
C、AB=2，CD=2
| ||
D、CD=2
|
已知函数f（x）=lnx+
+ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（ ）
| 1 |
| x |
A、（-∞，-
| ||
B、（-∞，-
| ||
C、（-∞，0）∪[
| ||
D、（-∞，0）∪（
|
如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
正方体的四个顶点构成的几何体的三视图如图，若各视图均为边长为2的正方形，则这个几何体的体积是（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|