Question

如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，G、H分别是AE、BC的中点，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．
（1）求证：GH∥平面ACD；
（2）若AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，试求该几何体的V．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结GO，OH，由已知得GO∥平面ACD，OH∥平面ACD，由此能证明GH∥平面ACD．
（2）由V=V_E-ABC+V_E-ACD，能求出该几何体的V．

解答： （1）证明：连结GO，OH，
∵GO∥AD，OH∥AC…（2分）
∴GO∥平面ACD，OH∥平面ACD，又GO交HO于O…（4分）
∴平面GOH∥平面ACD…（5分）
∴GH∥平面ACD…（6分）
（2）解：∵V=V_E-ABC+V_E-ACD…（8分）
∵AB=2，BC=1，tan∠EAB=

3

2

，
∴BE=

3

，AC=

AB2-BC2

=

3

．
V=V_E-ABC+V_E-ACD
=

1

3

S△ACB •EB+

1

3

S△ACD•DE
=

1

3

×

1

2

×

3

×1×

3

+

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×1=1．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．