Question

已知函数f（x）=ln（

1

2

+

1

2

ax）+x²-ax（a为常数，a＞0）．
（1）若x=-

1

2

是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）求证：当0＜a≤2时，f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导函数f′（x），由f′（-

1

2

）=0，求出a的值即可．
（2）利用f′（x）=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

=0，求出x=0，x=

a2-2

2a

，通过0＜a≤

2

时，f（x）满足要求使f（x）在[

1

2

，+∞）上为增函数；

2

＜a≤2时，f（x）在[

a2-2

2a

，+∞）上是增函数．结合

a2-2

2a

-

1

2

≤0，即可证明f（x）在[

1

2

，+∞）上单调递增．

解答： 解：（1）f′（x）=

a

1+ax

+2x-a=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

，
∴由f′（-

1

2

）=0，
得a²+a-2=0，
∵a＞0，∴a=1.4分
（2）f′（x）=

2ax2-(a2-2)x

1+ax

=0得x=0，x=

a2-2

2a

，
当0＜a≤

2

时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，满足要求使f（x）在[

1

2

，+∞）上为增函数，
当

2

＜a≤2时，f（x）在[

a2-2

2a

，+∞）上是增函数．
又因为

a2-2

2a

-

1

2

=

a2-a-2

2a

=

(a-2)(a+1)

2a

≤0，
即

a2-2

2a

≤

1

2

，
即f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函数．
所以f（x）在[

1

2

，+∞）上单调递增.12分

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的证明，考查分类讨论以及转化思想的应用．