Question

已知函数f（x）=lnx+

1

x

+ax，x∈（0，+∞）（a为实常数）．若f（x）在[2，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  4

  ]
• B、（-∞，-

  1

  4

  ]∪[0，+∞）
• C、（-∞，0）∪[

  1

  4

  ，+∞]
• D、（-∞，0）∪（

  1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，通过a与0的大小比较，判断导函数的符号，研究函数的单调性，求出a 的范围．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a=

ax2+x-1

x2

，
当a≥0时，ax²+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．
当a＜0时，令g（x）=ax²+x-1，g（x）在[2，+∞）上只能恒小于零，
故△=1+4a≤0或

△=1+4a＞0 g(2)≤0 - 1 2a ≤2

解得a≤-

1

4

，
∴a的取值范围是（-∞，-

1

4

]∪[0，+∞）．
故选：B．

点评：本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．