Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，a₄，}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²}，其中a₁＜a₂＜a₃＜a₄，a₁，a₂，a₃，a₄∈N^*，若A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，且A∪B中所有元素之和为124．
（1）求a₁和a₄的值；
（2）求集合A．

Answer 1

考点：并集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得a1=a12，又a1∈N*，a₁+a₄=10，由此能求出a₁和a₄的值．
（2）a22=a4或a32=a4，若a22=9，即a₂=3，此时A={1，3，5，9}；若a32=9，A∪B中所有元素之和为100≠124，不合题意，从而得到A={1，3，5，9}．

解答： 解：（1）∵a₁＜a₂＜a₃＜a₄，A={a₁，a₂，a₃，a₄，}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²}，A∩B={a₁，a₄}，
∴a1=a12，又∵a1∈N*，∴a₁=1，
又∵a₁+a₄=10，∴a₄=9．
（2）a22=a4或a32=a4，
若a22=9，即a₂=3，则有1+3+a₃+9+a32+81=124，
解得a₃=5或a₃=-6，（舍）
此时A={1，3，5，9}；
若a32=9，即a₃=3，此时应有a₂=2，
则A∪B中所有元素之和为100≠124，不合题意，
综上知：A{1，3，5，9}．

点评：本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用．