Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，椭圆C上一点到F₁和F₂的距离之和为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若直线L被椭圆C所截得的线段的中点P（-1，1），求直线L的方程
（3）若直线y=kx+2与椭圆交于A，B两点，当k为何值时OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，且2a=4，2c=2，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线L与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线L被椭圆C所截得的线段的中点P（-1，1），得到x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，利用点差法能求出直线L的方程．
（3）联立

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+16kx-8=0，同由此利用韦达定理结合题设条件能求出当k=±

6

6

时，OA⊥OB．

解答： 解：（1）∵椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，
∴设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∵椭圆C上一点到F₁和F₂的距离之和为4，焦距为2，
∴2a=4，2c=2，∴b=

4-1

=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设直线L与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵直线L被椭圆C所截得的线段的中点P（-1，1），
∴x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，得

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12

，∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴-6（x₁-x₂）+8（y₁-y₂），
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，
∴直线L的方程为y-1=-

3

4

(x+1)，
整理，得3x+4y-1=0．
（3）联立

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

，
消去y，并整理，得（3+4k²）x²+16kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

16k

3+4k2

，x₁x₂=

-8

3+4k2

，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

12-24k2

3+4k2

，
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=

-8

3+4k2

+

12-24k2

3+4k2

=

4-24k2

3+4k2

=0，
解得k=±

6

6

．
∴当k=±

6

6

时，OA⊥OB．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．