题目内容
设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 5 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为
| 4 |
| 5 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为
，求出a，即可得到椭圆C的方程；
（2）过点（3，0）且斜率为
的直线为y=
（x-3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 5 |
（2）过点（3，0）且斜率为
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
解答：
解：（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得
=1，∴b=4，…（1分）
由e=
=
，得1-
=
，∴a=5，…（3分）
∴椭圆C的方程为
+
=1．…（4分）
（2）过点（3，0）且斜率为
的直线为y=
（x-3），…（5分）
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=
（x-3）代入椭圆C方程，整理得x2-3x-8=0，…（7分）
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=
（x1-3）+
（x2-3）=
（x1+x2）-
=-
．…（10分）
由中点坐标公式AB中点横坐标为
，纵坐标为-
，
∴所截线段的中点坐标为（
，-
）．…（12分）
| 16 |
| b2 |
由e=
| c |
| a |
| 3 |
| 5 |
| 16 |
| a2 |
| 9 |
| 25 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
（2）过点（3，0）且斜率为
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=
| 4 |
| 5 |
由韦达定理得x1+x2=3，
y1+y2=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
由中点坐标公式AB中点横坐标为
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
∴所截线段的中点坐标为（
| 3 |
| 2 |
| 6 |
| 5 |
点评：本题考查椭圆的方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，确定椭圆的方程是关键．
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