Question

已知函数y=f（x），x∈R，
（1）y=f（x-2）与y-f（2-x）的图象关于直线 x=2对称；
（2）有下列4个命题：
①若f（1+2x）=f（1-2x），则f（x）的图象关于直线x=1对称；
②f（2x+5）=f（2x）则5是y=f（x）的周期；
③若f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=2对称；
④若f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），则f（x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确的命题为_

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：对于y=f（x-2）与y-f（2-x）的图象关于直线 x=2对称；后一个表达式有点错误，应该是y=f（2-x），是个正确的结论对于（2）中的①，利用换元法，以及对称的定义证明对于②，利用换元法和周期的定义，对于③④，分别利用奇偶性的定义证明．

解答： 解：对于①，令2x=t，则f（1+2x）=f（1-2x）化为f（1+t）=f（1-t），
设M（x，y）是y=f（x）上任意一点，则M′（2-x，y）是M关于直线x=1的对称点，
所以f（2-x）=f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]=f（x）=y，所以M′（2-x，y）在函数
y=f（x）上，因此函数y=f（x）关于直线x=1对称，①是正确的．
对于②，f（2x+5）=f（2x），令2x=t，则f（2x+5）=f（2x）化为
f（t+5）=f（t），即f（x+5）=f（x），所以5是函数的周期，②是正确的
对于③，因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），又因为f（2+x）=-f（x），
所以f（4+x）=f（2+2+x）=-f（2+x）=f（x）=f（-x），由②的结论，
而

4+x+(-x)

2

=2，所以x=2是函数的对称轴．③是正确的．
对于④，因为f（x）=f（-x-2），所以，x=

x+(-x-2)

2

=-1是对称轴，
又因为f（x）为奇函数，所以x=1是对称轴，④是正确的
故答案：①②③④

点评：本题考查了抽象函数的性质，反复使用函数的性质是解题关键