Question

设数列{a_n}是首项为1的正项数列，且（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0（n∈N^*）．
（1）写出数列的前五项；
（2）求数列的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用递推公式，能够依次求出数列的前五项．
（2）由已知得a_n+1=

-1± 1+4n(n+1)

2(n+1)

a_n=

-1±(2n+1)

2(n+1)

a_n，由a_n＞0，得an+1=

n

n+1

an，由此利用累乘法能求出数列的通项公式．

解答： 解：（1）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，首项为a₁=1，
∴2a22-1+a₂=0，解得a₂=

1

2

，或a₂=-1（舍），
3a₃²-2×

1

4

+

1

2

a3=0，解得a3=

1

3

，或a3=-

1

2

（舍），
4a42-3×

1

9

+

1

3

a4=0，解得a4=

1

4

，或a₄=-

1

3

（舍），
5a52-4×

1

4

+

1

4

a5=0，解得a₅=

1

5

，或a₅=-

1

4

（舍），
∴数列的前五项为1，

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

．
（2）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，首项为a₁=1，
∴a_n+1=

-1± 1+4n(n+1)

2(n+1)

a_n=

-1±(2n+1)

2(n+1)

a_n，
∵a_n＞0，∴an+1=

n

n+1

an，
∴a_n=a₁×

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=1×

1

2

×

2

3

×…×

n-1

n

=

1

n

．
故an=

1

n

．

点评：本题主要考查数列递推关系式的应用和累乘法．求数列通项公式的一般方法：公式法、累加法、累乘法、构造法等要熟练掌握．