Question

如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2a的正方形，平面ADEF垂直于平面ABCD，且FA⊥AD，EF∥AD，EF=AF=a．
（1）求证：BD⊥CF；
（2）若P、Q分别为棱BF和DE的中点，求证：PQ∥平面ABCD；
（3）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，由已知得BD⊥AC，FA⊥平面ABCD，BD⊥AF，由此能证明BD⊥CF．
（2）作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，由已知得四边形PSTQ是平行四边形，由此能证明PQ∥平面ABCD．
（3）多面体ABCDEF的体积V=V_{四棱锥P-ABCD}+V_{三棱锥C-DEF}，由此能求出结果．

解答： （1）证明：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AF⊥AD，AD是两平面的交线，
∴FA⊥平面ABCD，而BD?平面ABCD，∴BD⊥AF，
又∵AC∩FA=A，
∴BD⊥平面AFC，而CF?平在AFC，∴BD⊥CF．
（2）证明：作PS⊥AB，QT⊥AD，EM⊥AD，S，T，M是垂足，
在△ABF中，PS：AF=BP：BF=1：2，PS=

1

2

AF，
在直角梯形中ADEF中，QT=

1

2

EM=

1

2

AF，
∴PF

∥

.

QT，∴四边形PSTQ是平行四边形，∴PQ∥ST，
∴四边形PSTQ是平行四边形，∴PQ∥ST，
而ST?平面ABCD，∴PQ∥平面ABCD．
（3）解：多面体ABCDEF的体积：
V=V_{四棱锥P-ABCD}+V_{三棱锥C-DEF}
=

1

3

×(2a)2×a+

1

3

×

1

2

×a2×2a=

5

3

a2．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查多面体的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．