Question

定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=2，b=7时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g（x）=-x+

a

5a2-4a+1

的图象上，求b的最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将a=2，b=7代入f（x）=ax²+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不动点即可；
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，即方程ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实根，所以△=b²-4a（b-1）＞0即b²-4ab+4a＞0对任意的b∈R恒成立，
故△'=16a²-16a＜0，故0＜a＜1；
（3）先设出两点的坐标分别为A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）（x₁≠x₂），又AB的中点C在函数在函数g（x）=-x+

a

5a2-4a+1

的图象上，
所以

x1+x2

2

=-

x1+x2

2

+

a

5a2-4a+1

，即x1+x2=

a

5a2-4a+1

，而x₁，x₂是方程ax²+bx+b-1=0的两个根，所以x1+x2=-

b

a

至此题设中的条件转化为-

b

a

=

a

5a2-4a+1

，观察发现参数b可以表示成参数a的函数，至此，求参数b的问题转化为求b关于a的函数最小值的问题．

解答： 解：（1）f（x）=2x²+8x+6=x，解得x=-2或x=-

3

2

．所以所求的不动点为-2或-

3

2

．
（2）令ax²+（b+1）x+b-1=x，即方程ax²+bx+b-1=0恒有两个不等实根，
所以△=b²-4a（b-1）＞0即b²-4ab+4a＞0对任意的b∈R恒成立，
故△'=16a²-16a＜0，故0＜a＜1
（3）设A（x₁，x₁），B（x₂，x₂）x₁≠x₂，
又AB的中点C在函数在函数g（x）=-x+

a

5a2-4a+1

的图象上，
所以

x1+x2

2

=-

x1+x2

2

+

a

5a2-4a+1

，即x1+x2=

a

5a2-4a+1

而x₁，x₂是方程ax²+bx+b-1=0的两个根，所以x1+x2=-

b

a

即-

b

a

=

a

5a2-4a+1

所以b=-

a2

5a2-4a+1

=-

1

( 1 a )2-4( 1 a )+5

=-

1

( 1 a -2)2+1

由（2）知：0＜a＜1
则当

1

a

=2，即a=

1

2

时b_min=-1

点评：本题考点是二次函数的性质，主要考查二次函数、方程的基本性质、不等式的有关知识，同时考查函数思想、数形结合思想、逻辑推理能力和创新意识．