Question

已知点O在△ABC内，且2

OA

+3

OB

+6

OC

=

0

，那么△OBC、△OCA、△OAB的面积之比为（　　）

• A、1：2：3
• B、2：3：6
• C、3：2：1
• D、6：3：2

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，分别延长OA，OB，OC至A′，B′，C′点，使得

OA′

=2

OA

，

OB′

=3

OB

，

OC′

=6

OC

，由于2

OA

+3

OB

+6

OC

=

0

，可得

OA′

+

OB′

+

OC′

=

0

，延长点O是△A′B′C′的重心．可得△OB′C′、△OC′A′、△OA′B′的面积相等．于是

S△OAB

S△OA′B′

=

1 2 OA•OB

1 2 OA′•OB′

=

1

6

，S△OAB=

1

18

S△A′B′C′，同理可得S_△OAC=

1

36

S△A′B′C′，S△OBC=

1

54

S△A′B′C′．即可得出．

解答： 解：如图所示，分别延长OA，OB，OC至A′，B′，C′点，使得

OA′

=2

OA

，

OB′

=3

OB

，

OC′

=6

OC

，
∵2

OA

+3

OB

+6

OC

=

0

，∴

OA′

+

OB′

+

OC′

=

0

，
∴点O是△A′B′C′的重心．
∴△OB′C′、△OC′A′、△OA′B′的面积相等．
∵

S△OAB

S△OA′B′

=

1 2 OA•OB

1 2 OA′•OB′

=

1

2

×

1

3

=

1

6

，
∴S△OAB=

1

18

S△A′B′C′，
同理可得S_△OAC=

1

36

S△A′B′C′，
S△OBC=

1

54

S△A′B′C′．
∴△OBC、△OCA、△OAB的面积之比为2：3：6．
故选：B．

点评：本题考查了三角形重心的性质定理、三角形面积计算公式、向量的共线定理，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的能力，属于难题．