Question

如图，在几何体ABCD-A₁D₁C₁中，四边形ABCD，A₁ADD₁，DCC₁D₁均为边长为1的正方形．
（1）求证：BD₁⊥A₁C₁．
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）补全四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，得到四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，证出A₁C₁⊥平面BDD₁；即可证出BD₁⊥A₁C₁；
（2）用正方体的体积减去三棱锥的体积，得出几何体的体积．

解答： 解：（1）证明：连接AC，补全四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，如图所示；
∵四边形ABCD，A₁ADD₁，DCC₁D₁均为边长为1的正方形，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴DD₁⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，且BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面BDD₁，
又∵AA₁∥DD₁∥CC₁，且AA₁=DD₁=CC₁，
∴四边形ACC₁A₁是平行四边形，
∴A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁⊥平面BDD₁；
又∵BD₁⊥?平面BDD₁，
∴BD₁⊥A₁C₁；
（2）该几何体的体积是
V=V正方体ABCD-A1B1C1D1-V三棱锥B-A1B1C1
=1³-

1

3

•

1

2

•1²•1
=

5

6

．

点评：本题考查了空间中的垂直于平行的判断与性质的问题，也考查了求空间几何体的体积的问题，解题的关键是补全正方体，是中档题．