Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=4028+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）表示该数列的前n项的乘积，问n取何值时，f（n）有最大值？

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）在数列递推式中，取n=1求出首项，当n≥2时取n=n-1得另一递推式，作出得到数列{a_n}为等比数列，然后由等比数列的通项公式得答案；
（2）由通项公式可得，n≤11时，|a_n|＞1，n≥12时，|a_n|＜1，由此得到|f（n）|的增减性，再结合对应函数值的符号可知f（9）或f（12）最大，作比可得当n=12时，f（n）有最大值．

解答： 解：（1）由3S_n=4028+a_n（n∈N^*） ①
当n=1时，3a₁=4028+a₁，
得a₁=2014；
当n≥2时，有3s_n-1=4028+a_n-1 ②
①-②得：3a_n=a_n-a_n-1，即an=-

1

2

an-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是以2014为首项，-

1

2

为公比的等比数列．
∴an=2014(-

1

2

)n-1；
（2）n≤11时，|a_n|＞1，n≥12时，|a_n|＜1，
∴|f（n）|在n≥11时递减，在n≤11时递增，
∴|f（11）|为最大值，f（11）＜0，f（10）＜0，f（9）＞0，f（12）＞0
∵

f(12)

f(9)

=a10a11a12＞1，
∴当n=12时，f（n）有最大值．

点评：本题考查数列递推式，考查了数列通项公式的求法，考查了数列的函数特性，是中档题．