Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n，a_n，

1

2

成等差数列．
（1）证明数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=log₂a_n+3，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得2a_n=S_n+

1

2

，易求a1=

1

2

，当n≥2时，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

，两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），由递推式可得结论；
（2）由（1）可求an=a1•2n-1=2^n-2，从而可得b_n，进而有

1

bnbn+1

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂项相消法可得T_n；

解答： 解：（1）证明：由S_n，a_n，

1

2

成等差数列，知2a_n=S_n+

1

2

，
当n=1时，有2a1=a1+

1

2

，∴a1=

1

2

，
当n≥2时，S_n=2a_n-

1

2

，S_n-1=2a_n-1-

1

2

，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2），即a_n=2a_n-1，
由于{a_n}为正项数列，∴a_n-1≠0，于是有

an

an-1

=2（n≥2），
∴数列{a_n}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，以2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知an=a1•2n-1=

1

2

×2n-1=2^n-2，
∴b_n=log₂a_n+3=log22n-2+3=n+1，
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．