Question

函数f（x）=ae^x+b，g（x）=ax²-2x-2（其中a，b∈R，a≠0），设函数F（x）=f（x）•g（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，解关于x的不等式F（x）＞0；
（Ⅱ）当a＞0，b=0时，求函数F（cos²x）的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在区间[m，n]（m＞2），使得函数F（x）在[m，n]上的值域是[

m

2

，

n

2

]？试着说明你的理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求出a，b，可得F（x），即可解关于x的不等式F（x）＞0；
（Ⅱ）当a＞0，b=0时，F（x）=ae^x（ax²-2x-2），F′(x)=a2(x-

2

a

)(x+2)•ex．设t=cos²x（0≤t≤1），则转换为只需求得a＞0时，函数y=F（t）（0≤t≤1）的最小值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得F（x）=e^x（x²-2x-2），当x＞2时，假设存在区间[m，n]使得函数y=F（x）在[m，n]的值域为[

m

2

，

n

2

]，进而问题转化为“方程e^x（x²-2x-2）=

x

2

有两个不大于2的不等实数根”，构造新函数u（x）=e^x（x²-2x-2）-

x

2

（x＞2），求出导数后，判断出函数u（x₀）在（2，+∞）上只有一
个零点，不存在两个不相等的实数根，与假设矛盾，故可得证．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a•e^x，则f′（0）=a，
由于f′（a）在x=0处的切线方程为 y=x+1，
所以a=1，f （0）=a+b=1，
所以b=0，则f （x）=e^x，g（x）=x²-2x-2，
所以F（x）=e^x（x²-2x-2）．
不等式F（x）＞0，等价于x²-2x-2＞0，
解得x＜1-

3

，或者x＞1+

3

．
所以不等式F（x）＞0的解集为(-∞，1-

3

)∪(1+

3

，+∞)…（4分）
（Ⅱ）当a＞0，b=0时，F（x）=ae^x（ax²-2x-2），F′(x)=a2(x-

2

a

)(x+2)•ex．
设t=cos²x（0≤t≤1），则转换为只需求得a＞0时，函数y=F（t）（0≤t≤1）的最小值．
令F′（t）=0，则t=-2，t=

2

a

，有：

t	（-∞，-2）	-2	(-2， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f′（t）	+	0	-	0	+
f（t）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由上表可知，函数y=F（t）（0≤t≤1）在t=

2

a

处取得极小值．
当

2

a

＞1，即0＜a≤2时函数y=F（t）在（0，1）上是减函数，最小值为F（1）=a（a-4）e．
当0＜

2

a

＜1，即a＞2时，函数y=F（t）的极小值即为最小值，F(

2

a

)=-2ae

2

a

．
故当0＜a≤2，函数F（cos²x）最小值为a（a-4）e；当a＞2时，最小值为-2ae

2

a

．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得F（x）=e^x（x²-2x-2），F′（x）=（x+2）（x-2）e^x，
当x＞2时，假设存在区间[m，n]使得函数y=F（x）在[m，n]的值域为[

m

2

，

n

2

]．
由于x＞2在[m，n]的值域为[

m

2

，

n

2

]，
所以函数y=F（x）在[2，+∞）是增函数，
所以

F(m)= m 2 F(n)= n 2

即

em(m2-2m-2)= m 2 en(n2-2n-2)= n 2

，
所以方程e^x（x²-2x-2）=

x

2

有两个不大于2的不等实数根．
设u（x）=e^x（x²-2x-2）-

x

2

（x＞2），则u′（x）=e^x（x²-4）-

1

2

．
令h（x）=e^x（x²-4）-

1

2

．，则h′（x）=e^x（x²+2x-4）．
当x＞2时，h′（x）＞0，所以h（x）在（2，+∞）上是增函数．
又h（2）=-

1

2

＜0，h（3）=5e³-

1

2

＞0，
所以在区间（2，3）上，函数h（x）存在唯一一个零点x₀，使得h（x₀）=0．即存在唯一的x₀，使得u′（x₀）=0．
可知函数u（x）在区间（2，x₀）上单调递减；在区间（x₀，+∞）上单调递增．
则u(x0)＜u(2)=-2e2-1＜0，u(3)=e3-

3

2

＞0，因此函数u（x₀）在（2，+∞）上只有一
个零点，不存在两个不相等的实数根．
所以不存在满足题设条件的区间[m，n]…（14分）

点评：本题主要考查了导数的应用：利用导数求函数的极值及判断函数的单调性、求最值等，当导数中含有参数时需要分类讨论，考查运算求解能力和推理论证能力；考查化归与转化思想和分类讨论的思想，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．