Question

对于各项均为正数的无穷数列{a_n}，记b_n=

an+1

an

（n∈N^*），给出下列定义：
①若存在实数M，使a_n≤M成立，则称数列{a_n}为“有上界数列”；
②若数列{a_n}为有上界数列，且存在n₀（n₀∈N^*），使a n0=M成立，则称数列{a_n}为“有最大值数列”；
③若b_n+1-b_n＜0，则称数列{a_n}为“比减小数列”．
（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{

1

n

}是何种数列？
（Ⅱ）若数列{a_n}中，a₁=

2

，a_n+1=

2+an

，求证：数列{a_n}既是有上界数列又是比减小数列；
（Ⅲ）若数列{a_n}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由an=

1

n

，bn=

1 n+1

1 n

=

n

n+1

，得b_n+1-b_n＞0，a_n=

1

n

≤1，由此得到数列{

1

n

}既是有上界数列，又是有最大值数列．
（Ⅱ）先用数学归纳法证明

2

≤an＜an+1＜2，再证明a_n+1＞a_n．an+12-an2=-（a_n-2）（a_n+1）．然后证明

2+an+1

2+an

＜

an+1

an

，由此得到数列{a_n}既是比减少数列又是有上界数列．
（Ⅲ）假设对于?n∈N^*，b_n+1＞b_n，由此推导出无穷数列{a_n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，从而得到对于数列{a_n}，?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知an=

1

n

，bn=

1 n+1

1 n

=

n

n+1

，
b_n+1-b_n=

n+1

n+2

-

n

n+1

=

1

(n+1)(n+2)

＞0，
a_n=

1

n

≤1，且存在n=1，a₁=1，
所以数列{

1

n

}既是有上界数列，又是有最大值数列．…（3分）
（Ⅱ）数列{a_n}中，a₁=

2

，a_n+1=

2+an

，
下面用数学归纳法证明

2

≤an＜an+1＜2，
①

2

≤a1＜2，命题；
②假设n=k时命题成立，即

2

≤ak＜2，
当n=k+1时，ak+1=

2+ak

＜

2+2

=2，
ak+1=

2+ak

≥

2+ 2

＞

2

，
所以，当n=k+1时，命题成立，即

2

≤an＜2．
下面证明a_n+1＞a_n．an+12-an2=an+2-an2
=-（a_n-2）（a_n+1）．
因为

2

≤an＜2，所以an+12-an2＞0，即a_n+1＞a_n．
由an+12=2+an+1，an+12=2+an，
两式相除得：(

an+2

an+1

)2=

2+an+1

2+an

，a_n+1＞a_n，
所以

an+2

an+1

＞1，

an+1

an

＞1，（

an+2

an+1

）²-

an+2

an+1

=（

an+2

an+1

-1）

an+2

an+1

＞0，
即（

an+2

an+1

）²＞

an+2

an+1

．
下面证明

2+an+1

2+an

＜

an+1

an

，
即需证明（2+a_n+1）a_n＜（2+a_n）a_n+1，即需证明2a_n＜2a_n+1，
而2a_n＜2a_n+1已证明成立，
所以

an+2

an+1

＜(

an+2

an+1

)2=

2+an+1

2+an

＜

an+1

an

，
即b_n+1＜b_n，b_n+1-b_n＜0，
所以，数列{a_n}既是比减少数列又是有上界数列．…（6分）
（Ⅲ）用反证法，假设对于?n∈N^*，b_n+1＞b_n，
即

an+2

an+1

＞

an+1

an

＞…＞

a2

a1

=t，
因为无穷数列{a_n}各项为正且单调递增，所以t＞1．

an

a1

=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1

＞t^n-1，
所以an＞a1tn-1．当n＞

lnM-lna1

lnt

+1时，
a_n＞M，所以无穷数列{a_n}不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，
因此，对于数列{a_n}，?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0．…（4分）

点评：本题考查数列{

1

n

}是何种数列的判断，考查数列{a_n}既是有上界数列又是比减小数列的证明，考查?n∈N^*，b_n+1-b_n≤0的证明，解题时要注意数学归纳法和反证法的合理运用．