题目内容
某调酒师把浓度分别为a和b（a＞b）的两瓶均为300毫升的酒（分别记为A瓶液体、B瓶液体）进行混合．先把100毫升的A瓶液体倒入B瓶进行充分混合，然后再把100毫升的B瓶液体倒入A瓶进行充分混合，这样称为一次操作，依此类推．
（Ⅰ）设经过n次操作后，A瓶液体与B瓶液体的浓度之差为cn，试写出c1，c2及数列{cn}的通项公式；
（Ⅱ）当a=70%，b=10%时，需经过多少次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1%？
（Ⅰ）设经过n次操作后，A瓶液体与B瓶液体的浓度之差为cn，试写出c1，c2及数列{cn}的通项公式；
（Ⅱ）当a=70%，b=10%时，需经过多少次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1%？
考点：数列的应用,数列的求和
专题：应用题,等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）确定bn+1=
=
an+
bn，an+1=
=
bn+1+
an，可得：an+1-bn+1=
（an-bn），即可写出c1，c2及数列{cn}的通项公式；
（Ⅱ）当a=70%，b=10%时，有（0.7-0.1）×
＜0.01，由此可得结论．
| 100an+300bn |
| 400 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 100bn+1+200an |
| 300 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）当a=70%，b=10%时，有（0.7-0.1）×
| 1 |
| 2n |
解答：
解：（Ⅰ）设an，bn分别为A瓶液体、B瓶液体经过n次操作后的浓度．则a0=a，b0=b，
且bn+1=
=
an+
bn，an+1=
=
bn+1+
an．（*）
由（*）可得：an+1-bn+1=
（an-bn），
即cn+1=
cn，
∴数列{cn}是以a-b为首项，以
为公比的等比数列．
∴cn=（a-b）×
．其中c1=
（a-b），c2=
（a-b）.9分
（Ⅱ） 设经过n次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1%，则
当a=70%，b=10%时，有（0.7-0.1）×
＜0.01，∴n＞5
即经过6次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1%.13分．
且bn+1=
| 100an+300bn |
| 400 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 100bn+1+200an |
| 300 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
由（*）可得：an+1-bn+1=
| 1 |
| 2 |
即cn+1=
| 1 |
| 2 |
∴数列{cn}是以a-b为首项，以
| 1 |
| 2 |
∴cn=（a-b）×
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ） 设经过n次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1%，则
当a=70%，b=10%时，有（0.7-0.1）×
| 1 |
| 2n |
即经过6次操作后才能使两瓶酒的浓度之差小于1%.13分．
点评：本题考查数列的应用，考查利用数学知识解决实际问题，确定数列模型是关键．
练习册系列答案
相关题目
已知
，
满足：|
|=3，|
|=4，|
+
|=6，则|
-
|=（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、
| ||
| C、4 | ||
D、
|
如图，在棱长为10的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD，A1D1的中点，长为2的线段MN的一个端点M在线段EF上运动，另一个端点N在底面A1B1C1D1上运动，则线段MN的中点P在二面角A-A1D1-B1内运动所形成几何体的体积为（ ）
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为DD1、DB的中点．