题目内容

如图所示，F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该椭圆的交点分别为A、B、C、D，若三角形F2AB为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）
A、
3
-1
B、
2
+1
C、
2
+1
2
D、
3
-1
2
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：连结AF1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F1AF2是含有30°角的直角三角形，由此得到|F1A|=c且|F2A|=
3
c．再利用椭圆的定义，得到2a=|F1A|+|F2A|=（1+
3
）c，即可算出该椭圆的离心率．
解答： 解：连结AF1，
∵F1F2是圆O的直径，∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，
又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，
∴∠AF1F2=
1
2
∠AF2B=30°，
因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=
1
2
|F1F2|=c，|F2A|=
3
2
|F1F2|=
3
c．
根据椭圆的定义，得2a=|F1A|+|F2A|=（1+
3
）c，解得a=
1+
3
2
c，
∴椭圆的离心率为e=
c
a
=
3
-1．
故选：A．
点评：本题给出以椭圆焦距F1F2为直径的圆交椭圆于A、B两点，在△F2AB是等边三角形的情况下求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
给出以下五个命题：
①若直线l∥直线a，a?β，则l∥β；
②如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥平面γ；
③命题“函数f（x）在x=x0处有极值，则f′（x0）=0”的否命题是真命题；
④命题p：“?x0∈R，使得x02+x0+1＜0”，则?p：“?x∈R，均有x2+x+1≥0”；
⑤设函数f（x）=ex，g（x）=lnx+m，对于?x1∈[1，2]，?x2∈[1，2]，使不等式f（x1）＞g（x2）成立，则m＜e-ln2．
其中正确的命题序号为
 
．（将你认为正确的命题的序号都填上）
对于任意非零实数a、b、c、d，下列判断：
①若a＞b，则ac＞bc；
②若a＞b，则ac2＞bc2；
③若ac2＞bc2，则a＞b；
④若a＞b，则
1
a
＜
1
b
；
⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．
其中正确的个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
称d（
a
，
b
）=|
a
-
b
|为两个向量
a
，
b
间距离，若
a
，
b
满足①|
b
|=1②
a
≠
b
  ③对任意实数t，恒有d（
a
，t
b
）≥d（
a
，
b
），则（　　）
A、（
a
+
b
）⊥（
a
-
b
）
B、
b
⊥（
a
-
b
）
C、
a
⊥
b
D、
a
⊥（
a
-
b
）
给出下列命题，其中正确的命题是（　　）
A、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B、棱台的侧面是等腰梯形
C、经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形
D、一条直线在平面上的平行投影仍是直线
已知
a
，
b
满足：|
a
|=3，|
b
|=4，|
a
+
b
|=6，则|
a
-
b
|=（　　）
A、
13
B、
14
C、4
D、
15
设函数f（x），g（x）的定义域分别为DJ，DE且DJ?DK，若对于任意x∈DJ，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在DE上的一个延拓函数．设f（x）=e-x（x-1）（x＞0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数．给出以下命题：
①当x＜0时，g（x）=e-x（1-x）
②函数g（x）有3个零点
③g（x）＞0解集为（-1，0）∪（1，+∞）
④?x1，x2∈R都有|g（x1）-g（x2）|≤2
其中正确的命题个数是（　　）
A、1B、2C、3D、4
某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班级爱好体育有爱好音乐的人数（　　）
A、26B、27C、28D、29
对于各项均为正数的无穷数列{an}，记bn=
an+1
an
（n∈N*），给出下列定义：
①若存在实数M，使an≤M成立，则称数列{an}为“有上界数列”；
②若数列{an}为有上界数列，且存在n0（n0∈N*），使a n0=M成立，则称数列{an}为“有最大值数列”；
③若bn+1-bn＜0，则称数列{an}为“比减小数列”．
（Ⅰ）根据上述定义，判断数列{
1
n
}是何种数列？
（Ⅱ）若数列{an}中，a1=
2
，an+1=
2+an
，求证：数列{an}既是有上界数列又是比减小数列；
（Ⅲ）若数列{an}是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：?n∈N*，bn+1-bn≤0．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网