Question

17．如果x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+y+5≥0}\end{array}}\right.$，则$z=\frac{x+2y-3}{x+1}$的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{8}{5}}]∪[{3，+∞}）$
• B． $[{-1，\frac{1}{7}}]$
• C． （-1，0]∪[3，+∞）
• D． （-∞，-1]∪[7，+∞）

Answer 1

分析 由线性约束条件画出可行域，把要求范围的式子变形为$z=\frac{x+2y-3}{x+1}$=$2•\frac{y-2}{x+1}+1$由$\frac{y-2}{x+1}$的几何意义两点连线的斜率可求z的取值范围．

解答 解：由x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y+1≤0}\\{x-y+1≥0}\\{2x+y+5≥0}\end{array}}\right.$，得可行域如图，
目标函数变形为z=$2•\frac{y-2}{x+1}+1$由$\frac{y-2}{x+1}$的看作是可行域内的动点（x，y）与定点Q（-1，2）连线的斜率的2倍+1，
由可行域看出，k_QA=$\frac{-1-2}{-2+1}$=3，k_QB=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1．
所以定点Q与可行域内动点连线斜率的范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
则z的取值范围是（-∞，-1]∪[7，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查了简单线性规划的应用，考查了数形结合的解题思想，解答此题的关键是对目标函数的转化，是中档题．