Question

8．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若$∠PAQ=\frac{π}{3}$，且$|PQ|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，则双曲线C的渐近线方程为$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．

Answer 1

分析 利用双曲线的渐近线以及点到直线的距离公式，考查方程然后求解即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P、Q两点，若$∠PAQ=\frac{π}{3}$，且$|PQ|=\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
可得（a，0）到直线bx-ay=0的距离$d=\frac{|ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$，
解得：$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
双曲线的渐近线方程为：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．
给答案为：$y=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$．

点评 本题主要考查点到直线距离及双曲线的几何性质的应用，考查计算能力．