Question

已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足|

PM

|=|

PN

|，则

PM

•

PN

的最小值是 （　　）

• A、-

  1

  4

• B、-

  1

  2

• C、-

  3

  4

• D、-1

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x₁，y₁），则点N（-x₁，y₁），由x12+y12=1得

PM

•

PN

=2y12-2y1，求出最小值．

解答： 解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆
的圆心为O（0，0），
点P（0，1），点M（x₁，y₁），则点N（-x₁，y₁），
-1≤y₁＜1
∴

PM

=（x₁，y₁-1），

PN

=（-x₁，y₁-1），
x12+y12=1．
∴

PM

•

PN

=-x12+y12-2y1+1
=2y12-2y1=2(y1-

1

2

)2-

1

2

，
∴当y₁=

1

2

时

PM

•

PN

的最小值是-

1

2

故选：B．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．