Question

若x，y满足

x+y-4≥0 x-y+2≥0 3x+y-10≤0

，则

x2+y2

xy

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：根据分式的特点，利用换元法，利用直线斜率的几何意义，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：

x2+y2

xy

=

x

y

+

y

x

，
设k=

y

x

，则

x

y

+

y

x

=k+

1

k

，k的几何意义是过原点的直线的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则OA的斜率最小，OB的斜率最大，
由

x+y-4=0 3x+y-10=0

，解得

x=3 y=1

，即A（3，1），此时OA的斜率k=

1

3

，
由

x+y-4=0 x-y+2=0

，解得

x=1 y=3

，即B（1，3），此时OB的斜率k=3，
即

1

3

≤k≤3，
设z=k+

1

k

，则在[

1

3

，1]上函数z单调递减，则[1，3]上，单调递增，
∴最小值为2，当k=3或k=

1

3

，此时z取得最大值

10

3

，
故2≤z≤

10

3

，
故答案为：2≤z≤

10

3

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用线性规划的知识，结合换元法，以及基本不等式的性质是解决本题的关键．