Question

设函数f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2）（a∈R）
（1）当a=-2时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=-2 时，由题意可得|x+1|+|x+2|＞2，去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得|x+1|+|x-a|-2＞0恒成立，再利用绝对值三角不等式求得|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|，可得|a+1|＞2，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=-2 时，f（x）=lg（|x+1|+|x+2|-2），
若函数f（x）有意义，则|x+1|+|x+2|-2＞0，即|x+1|+|x+2|＞2，
∴

x＜-2 -2x-3＞2

 ①，或 

-2≤x＜-1 -1＞2

 ②，或

x≥-1 2x+3＞2

  ③，
解①求得 x＜-

5

2

，解②求得x∈∅，解③求得x＞-

1

2

，
故函数的定义域为（-∞，-

5

2

）、（-

1

2

，+∞）．
（2）若函数f（x）的定义域为R，则|x+1|+|x-a|-2＞0恒成立．
由于|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=a+1，∴|a+1|＞2，
解得 a＞1，或a＜-3．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于基础题．