Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞0且a≠1时，求使f（x）＞0的x的解集．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）的解析式可得

x+1＞0 1-x＞0

，由此求得函数的定义域．
（2）由于函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（3）分当a＞1和当0＜a＜1时两种情况，分别利用函数的单调性和定义域，求得要求的不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），∴

x+1＞0 1-x＞0

，求得-1＜x＜1，可得函数的定义域为（-1，1）．
（2）由于函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，且满足f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-f（x），
故f（x）是奇函数．
（3）当a＞1时，函数f（x）log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

 是增函数，由f（x）＞0，可得

1+x

1-x

＞1，
即

x-2

x-1

＜0，即（x-2）（x-1）＜0，∴1＜x＜2．
当0＜a＜1时，函数f（x）log_a（x+1）-log_a（1-x）=loga

1+x

1-x

 是减函数，由f（x）＞0，可得 0＜

1+x

1-x

＜1，
即

1+x 1-x ＞0 1+x 1-x ＜1

，即 

-1＜x＜1 x＜0或x＞1

，求得-1＜x＜0．

点评：本题主要考查求函数的定义域、判断函数的奇偶性，对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．