题目内容

设|
AB
|=2，|
AC
|=3，∠BAC=60°，
CD
=2
BC
，
AE
=x
AD
+（1+x）
AB
，x∈[0，1]，则
AE
在
AC
上的投影的取值范围是（　　）
A、[0，1]
B、[0，7]
C、[1，9]
D、[9，21]
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：由向量加法的三角形法则把向量
AD
用向量
AB
，
AC
表示，代入
AE
=x
AD
+（1+x）
AB
，然后求出
AE
•
AC
，
再由
AE
•
AC
=|
AE
|•|
AC
|cos＜
AE
，
AC
＞，两边同时乘以
1
|
AC
|
得到
AE
在
AC
上的投影关于x的函数，最后由x的范围求得答案．
解答： 解：∵
CD
=2
BC
，
∴
AD
=
AC
+
CD
=
AC
+2
BC
，
=
AC
+2
AC
-2
AB
=3
AC
-2
AB
，
∴
AE
=x
AD
+（1+x）
AB

=x(3
AC
-2
AB
)+(1+x)
AB
=3x
AC
+(1-x)
AB
．
又|
AB
|=2，|
AC
|=3，∠BAC=60°，
则
AE
•
AC
=[3x
AC
+(1-x)
AB
]•
AC

=3x•|
AC
|2+(1-x)•|
AB
|•|
AC
|•cos60°
=27x+(1-x)•2•3•
1
2
=24x+3．
由
AE
•
AC
=|
AE
|•|
AC
|cos＜
AE
，
AC
＞，
∴|
AE
|cos＜
AE
，
AC
＞=
AE
•
AC
|
AC
|
=
24x+3
3
=8x+1．
∵x∈[0，1]，
∴8x+1∈[1，9]．
∴
AE
在
AC
上的投影的取值范围是[1，9]．
故选：C．
点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，解答的关键是明确向量在向量上的投影概念，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=2，b=4，cosC=
3
4
，则sinB=
 
．
如果实数x，y满足等式y2=x，那么
y
x+1
的最大值是（　　）
A、-1
B、1
C、-
1
2
D、
1
2
若平面向量
a
，
b
的夹角为60°，且|
a
|=2|
b
|，则（　　）
A、
a
⊥（
b
+
a
）
B、
a
⊥（
b
-
a
）
C、
b
⊥（
b
+
a
）
D、
b
⊥（
b
-
a
）
圆台侧面积为2π，母线l与底面所成角为60°，上底半径为x，下底半径为y （y＞x＞0），则函数y=f （x）的图象是（　　）（注：圆台侧面积公式S=π（r1+r2）l）
A、
B、
C、
D、
下列说法正确的是（　　）
A、命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”
B、a∈R，“
1
a
＜1”是“a＞1”的必要不充分条件
C、“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件
D、命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤
2
”，则￢p是真命题
一个多面体的直观图和三视图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，由它飞入几何体F-AMCD内的概率为（　　）
A、
3
4
B、
2
3
C、
1
3
D、
1
2
已知O为坐标原点，对于函数f（x）=asinx+bcosx，称向量
OM
=（a，b）为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量
OM
的伴随函数．
（Ⅰ）设函数g（x）=sin（
π
2
+x）+2cos（
π
2
-x），试求g（x）的伴随向量
OM
的模；
（Ⅱ）记
ON
=（1，
3
）的伴随函数为h（x），求使得关于x的方程h（x）-t=0在[0，
π
2
]内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．
如图，f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0，A＞0，-π＜φ＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-π，-
π
2
]上的值域．

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