Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f（x）的解析式；
（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

解答： 解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x³+bx²+cx+2，则f'（x）=3x²+2bx+c．
由在M（-1，f（-1））处的切线方程是6x-y+7=0，
知-6-f（-1）+7=0，
即f（-1）=1，f'（-1）=6
∴

3-2b+c=6 -1+b-c+2=1

，
即

2b-c=-3 b-c=0

，
解得b=c=-3，
故所求的解析式是f（x）=x³-3x²-3x+2．
（2）∵f（x）=x³-3x²-3x+2．
∴f′（x）=3x²-6x-3=3（x²-2x-1）．
由f′（x）=3（x²-2x-1）＞0，
解得x＞1+

2

或x＜1-

2

，此时函数单调递增，
由f′（x）=3（x²-2x-1）＜0，
解得1-

2

＜x＜1+

2

，此时函数单调递减，
则函数在x=1-

2

取得极大值，同时也是最大值，最大值4

2

-3，
当x=-3时，函数取得最小值，最小值-43．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数求函数的最值，考查导数的综合应用．