Question

设函数f（x）=lnx-

a

x

，g（x）=e^x（ax+1），其中a为实数．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调增函数，且g（x）在（-∞，1）上有最大值，求a的取值范围；
（2）若g（x）在（1，2）上不是单调函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据y=f（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，则f'（x）≥0恒成立，即可求a的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）在区间（1，2）上不是单调函数时，则等价于g'（x）=0在（1，2）上有解，然后求出函数的最值，即可判断函数零点的个数．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）在区间（1，+∞）上是单调增函数，
∴f'（x）=

1

x

+

a

x2

在（1，+∞）上恒成立，∴a≥-x，
∵-x＜-1，∴a≥-1，
∵g（x）=e^x（ax+1），∴g′（x）=e^x（ax+a+1），
①-1≤a＜0时，在（-∞，-1-

1

a

）上，g′（x）＞0，在（-1-

1

a

，+∞）上f′（x）＜0，
∴f（x）_max=f（-1-

1

a

），而-1-

1

a

在（-∞，1）上，符合题意，
②a=0时，g′（x）＞0，没有最大值，
③a＞0时，在（-∞，-1-

1

a

）上，g′x）＜0，在（-1-

1

a

，+∞）上，g′（x）＞0，
∴f（x）有最小值，不合题意，
综上，-1≤a＜0；
（Ⅱ）∵g（x）在区间（1，2）上不是单调函数时，
∴g'（x）=e^x（ax+a+1）=0在（1，2）上有解，
∴a≠0且1＜-

a+1

a

＜2，
∴-

1

2

＜a＜-

1

3

，
由f（x）=lnx-

a

x

=0得a=xlnx，
令h（x）=xlnx，则h'（x）=1+lnx，
由h'（x）=0，得x=

1

e

，
在（0，

1

e

）上，h'（x）＜0，此时h（x）是减函数，
在（

1

e

，+∞）上，h'（x）＞0，此时h（x）是增函数，
∴当x=

1

e

时，h（x）取得极小值，也是最小值为h（

1

e

）=-

1

e

，
又0＜x＜1时，h（x）＜0，
x≥1时，h（x）≥0，
∴当-

1

2

＜a＜-

1

e

时，f（x）的零点个数为0，
当a=-

1

e

时，f（x）的零点个数为1，
当-

1

e

＜a＜-

1

3

时，f（x）的零点个数为2．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，考查学生的计算能力．要求熟练掌握函数的单调性，极值，最值和导数之间的关系．