Question

已知函数f（x）=1g

1-x

1+x

．
（Ⅰ）试用函数单调性定义证明：f（x）在其定义域上是减函数；
（Ⅱ）要使方程f（x）=x+b在[-

1

2

，

1

2

]上恒有实数解，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数的单调性证明即可，
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-x，由（1）知g（x）在在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数，然后求值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∴函数f（x）=1g

1-x

1+x

．
∴函数的定义域为（-1，1），设x₁，x₂∈（-1，1），且设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lg

1-x1

1+x1

-lg

1-x2

1+x2

=lg

1-x1+x2-x1x2

1+x1-x2-x1x2

，
∵x₁，x₂∈（-1，1），且设x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞x₁-x₂，
∴

1-x1+x2-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在其定义域上是减函数；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）-x，则由（1）知g（x）在在[-

1

2

，

1

2

]上是减函数，
所以b∈[g（

1

2

），g（-

1

2

）]，
而g（

1

2

）=-

1

2

-lg3，g（

1

2

）=

1

2

+lg3
故实数b的取值范围为[-

1

2

-lg3，

1

2

+lg3]

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义和性质，属于基础题．