Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过A（1，

6

3

）和点B（0，-1）．
（1）求椭圆G的方程；
（2）设过点P（0，

3

2

）的直线l与椭圆G交于M，N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得b=1，由

1

a2

+

( 6 3 )2

1

=1，得a²=3．由此能求出椭圆G的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+

3

2

．由

x2 3 +y2=1 y=kx+ 3 2

，得（k²+

1

3

）x²+3kx+

5

4

=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）∵椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过A（1，

6

3

）和点B（0，-1）．
∴b=1，由

1

a2

+

( 6 3 )2

1

=1，得a²=3．
∴椭圆G的方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）由题意知直线l的斜率k存在，且k≠0．
设直线l的方程为y=kx+

3

2

．
由

x2 3 +y2=1 y=kx+ 3 2

，消去y并整理得（k²+

1

3

）x²+3kx+

5

4

=0，…（5分）
由△=9k2-5(k2+

1

3

)＞0，k2＞

5

12

…（7分）
设M(x1，y1)，N(

x

2

，y2)，MN中点为Q（x₀，y₀），
得x0=

x1+y1

2

=-

9k

6k2+2

，y0=

y1+y2

2

=

3

6k2+2

，…（8分）
由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，
∴

y0+1

x0

•k=-1，即

3 6k2+2 +1

- 9k 6k2+2

•k=-1．
化简得k2=

2

3

，满足△＞0．∴k=±

6

3

，…（12分）
∴直线l的方程为y=±

6

3

x+

3

2

．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．