Question

5．函数f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}cos（{ωx+φ}）（{ω＞0}）$的图象过（1，2），若f（x）相邻的零点为x₁，x₂且满足|x₁-x₂|=6，则f（x）的单调增区间为（　　）

• A． [-2+12k，4+12k]（k∈Z）
• B． [-5+12k，1+12k]（k∈Z）
• C． [1+12k，7+12k]（k∈Z）
• D． [-2+6k，1+6k]（k∈Z）

Answer 1

分析 （1）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，相邻的零点为x₁，x₂且满足|x₁-x₂|=6，可得周期为12．求出ω，结合三角函数的图象和性质，求出单调增区间．

解答 解：由$f（x）=sin（ωx+ϕ）+\sqrt{3}cos（ωx+ϕ）=2sin（ωx+ϕ+\frac{π}{3}）$，
∵f（x）相邻的零点为x₁，x₂且满足|x₁-x₂|=6，
∴f（x）的周期为12，即$\frac{2π}{ω}$=12，
∴ω=$\frac{π}{6}$．
那么f（x）=2sin（$\frac{π}{6}x$+φ+$\frac{π}{3}$）．
∵图象过（1，2）点，
则f（x）在x=1处取得最大值，即sin（$\frac{π}{6}$+φ+$\frac{π}{3}$）=cosφ=1．
∴φ=0+2kπ．
令k=0，可得φ=0．
则函数解析式f（x）=2sin（$\frac{π}{6}x$+$\frac{π}{3}$）．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{π}{6}x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：-5+12k，≤x≤1+12k，
∴f（x）的单调增区间为[-5+12k，1+12k]（k∈Z）．
故选；B．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．