题目内容
4．
在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；
（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．
分析 （1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，
由题意他只闯过了第一关，没有过第二关，由此求出所求的概率；
（2）根据题意知X的所有可能取值，计算对应的概率，
写出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．
解答 解：（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，
由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，
因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，
第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，
∴所求的概率为P（A）=$\frac{3}{4}$×（5×$\frac{1}{16}$）=$\frac{15}{64}$；
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；
计算P（X=0）=$\frac{1}{4}$，P（X=10）=$\frac{15}{64}$，
P（X=20）=$\frac{3}{4}$×$\frac{11}{16}$×$\frac{54}{64}$=$\frac{891}{2048}$，
P（X=40）=$\frac{3}{4}$×$\frac{11}{16}$×$\frac{10}{64}$=$\frac{165}{2048}$，
∴X的概率分布为：
| X | 0 | 10 | 20 | 40 |
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{15}{64}$ | $\frac{891}{2048}$ | $\frac{165}{2048}$ |
E（X）=0×$\frac{1}{4}$+10×$\frac{15}{64}$+20×$\frac{891}{2048}$+40×$\frac{165}{2048}$=$\frac{7305}{512}$．
点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
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