Question

在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），D（-2cosα，-1），其中α∈(

π

2

，

3π

2

)
（1）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

的值；
（2）若f（α）=

OC

•

OD

-t²+2在定义域α∈(

π

2

，

3π

2

)有最小值-1，求t的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）结合平面向量的坐标表示，写出

AC

，

BC

的坐标表示，然后，根据向量的数量积的运算，得到cosα+sinα=

2

3

，然后，结合二倍角公式进行求解；
（2）采用二次函数思想进行求解．

解答： 解：（1）根据已知，

AC

=（cosα-3，sinα）

BC

=（cosα，sinα-3）
∴

AC

•

BC

=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=-1
∴1-3（cosα+sinα）=-1
∴cosα+sinα=

2

3

平方得到cos²α+2cosαsinα+sin²α=1+2cosαsinα=

4

9

∴2cosαsinα=-

5

9

，
∴

2sin2α+2sinαcosα

1+tanα

=2cosαsinα=-

5

9

，
（2）f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2=2sin²α-tsinα-t²
=2（sinα-

t

4

）²-

9t2

8

，
设sinα=m，
∵α∈(

π

2

，

3π

2

)，
∴m∈（-1，1），
∴f（m）=2（m-

t

4

）²-

9t2

8

，
①当

t

4

≤-1时，即t≤-4，此时，函数无最小值；
②当

t

4

≥1时，即t≥4，此时，函数无最小值；
③当-1＜

t

4

＜1时，即-4＜t＜4，此时，函数当sinα=

t

4

时取得，为-

9t2

8

，
∴-

9t2

8

=-1，
∴t=±

2 2

3

，
同时

t

4

=±

2

6

∈（-1，1），
∴t=±

2 2

3

满足题意．

点评：本题综合考查了平面向量的坐标运算，二倍角公式，三角恒等变换等公式，属于中档题．