Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a，b，c成等差数列，则函数f（B）=sinB+cosB+sinB•cosB+1的值域为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：依题意得2b=a+c，利用余弦定理可得cosB=

3

8

（

a

c

+

c

a

）-

1

4

≥2×

3

8

-

1

4

=

1

2

，继而可得0＜B≤

π

3

，令t=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

），则sinB•cosB=

t2-1

2

，整理可得f（B）=h（t）=

1

2

（t+1）²，t∈（1，

2

]，利用二次函数的单调性即可求得答案．

解答： 解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
则cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3 4 a2+ 3 4 b2- 1 2 ac

2ac

=

3

8

（

a

c

+

c

a

）-

1

4

≥2×

3

8

-

1

4

=

1

2

，
则0＜B≤

π

3

．
令t=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

），则sinB•cosB=

t2-1

2

，
∴sinB+cosB+sinB•cosB+1=t+

t2-1

2

+1=

1

2

（t+1）²，
∵0＜B≤

π

3

，
∴

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，
∴t∈（1，

2

]，
∴t+1∈（2，1+

2

]，
∴

1

2

（t+1）²∈（2，

3+2 2

2

]，
∴f（B）=sinB+cosB+sinB•cosB+1的值域为：（2，

3+2 2

2

]．
故答案为：（2，

3+2 2

2

]．

点评：本题考查等差数列的性质，主要考查三角函数间的平方关系与二倍角的正弦、辅助角公式的综合应用，突出换元思想与正弦函数的单调性质的考查，属于难题．