已知函数y=f(x).x∈D.如果对于定义域D内的任意实数x.对于给定的非零常数m.总存在非零常数T.恒有f成立.则称函数f(x)是D上的m级类增周期函数.周期为T．若恒有f成立.则称函数f(x)是D上的m级类周期函数.周期为T．=-x2+ax是[3.+∞)上的周期为1的2级类增周期函数.求实数a的取值范围,是[0.+∞)上m级类周期函数.且y=f上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（2）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数k，使函数f（x）=coskx是R上的周期为T的T级类周期函数，若存在，求出实数k和T的值，若不存在，说明理由．

考点：函数的周期性,进行简单的合情推理

专题：应用题,新定义

分析：（1）根据题意-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）对一切[3，+∞）恒成立，转化为a＜

x2-2x-1

x-1

(x-1)2-2

x-1

=（x-1）-

x-1

，利用基本不等式求解即可．
（2）分类讨论f得出f（x）在[0，+∞）上单调递增，m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．
（3）当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，f（x）=mf（x-4）=…=mⁿf（x-4n）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，分类得出：-1≤m＜0或0＜m≤1．

解答： 解：（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），
即-（x+1）²+a（x+1）＞2（-²+ax）对一切[3，+∞）恒成立，
（x-1）a＜x²-2x-1，
∵x∈[3，+∞）
∴a＜

x2-2x-1

x-1

(x-1)2-2

x-1

=（x-1）-

x-1

，
令x-1=t，则t∈[2，+∞），
g（x）=t-

在[2，+∞）上单调递增，
∴g（t）_min=g（2）=1，
∴a＜1．
（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2^x，
∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m•2^x-1，
当x∈[n，n+1]时，f（x）=mf（x-1）=m²f（x-2）=…=mⁿf（x-n）=mⁿ•2^x-n，
即x∈[n，n+1）时，f（x）=mⁿ•2^x-n，n∈N^*，
∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴m＞0且mⁿ•2^n-n＞m^n-1•2^n-（n-1），即m≥2．
（3）问题（Ⅰ）∵当x∈[0，4]时，y∈[-4，0]，且有f（x+4）=mf（x），
∴当x∈[4n，4n+4]，n∈Z时，
f（x）=mf（x-4）=…=mⁿf（x-4n）=mⁿ[（x-4n）²-4（x-4n）]，
当0＜m≤1时，f（x）∈[-4，0]；
当-1＜m＜0时，f（x）∈[-4，-4m]；
当m=-1时，f（x）∈[-4，4]；
当m＞1时，f（x）∈（-∞，0）；
当m＜-1时，f（x）∈（-∞，+∞）；
综上可知：-1≤m＜0或0＜m≤1．
问题（Ⅱ）：由已知，有f（x+T）=T•f（x）对一切实数x恒成立，
即cosk（x+T）=Tcoskx对一切实数恒成立，
当k=0时，T=1；
当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[-1，1]，
又∵cos（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使cosk（x+T）=Tcoskx恒成立，只有T=±1，
当T=1时，cos（kx-k）=coskx 得到 k=2nπ，n∈且n≠0；
当T=-1时，cos（kx-k）=-coskx 得到-k=2nπ+π，
即k=（2n+1）π，n∈Z；
综上可知：当T=1时，k=2nπ，n∈Z；
当T=-1时，K=（2n+1）π，n∈Z．

点评：本题综合考查了函数的性质，推理变形能力，分类讨论的思想，属于难题．