题目内容
设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，则
①f（-
）=0；
②f（x）的图象关于（
，0）对称；
③f（x）的单调递增区间是[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）；
④|f（
）|＞|f（
）|；
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）．
| π |
| 6 |
①f（-
| π |
| 12 |
②f（x）的图象关于（
| π |
| 6 |
③f（x）的单调递增区间是[kπ+
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
④|f（
| 7π |
| 12 |
| π |
| 5 |
⑤存在经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相交．
以上结论正确的是
考点：两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的图像与性质
分析：依题意，可知x=
是其一条对称轴，由f（0）=f（
）可得，b=
a，不妨令a=
，则b=1（或a=-
，则b=-1，
再对①②③④⑤五个选项逐一分析判断即可．
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
再对①②③④⑤五个选项逐一分析判断即可．
解答：
解：∵f（x）=asin2x+bcos2x，f（x）≤|f（
）|对一切x∈R恒成立，
∴x=
是其一条对称轴，
∴f（0）=f（
），即b=
a-
b，
∴b=
a，不妨令a=
，则b=1，
∴f（x）=2sin（2x+
）．
对于①，f（-
）=0，正确；
对于②，f（
）=2≠0，
∴f（x）的图象关于（
，0）对称不正确；
对于③，由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
得：kπ-
≤x≤kπ+
．
或由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
得：kπ+
≤x≤kπ+
（此时a与b均为负值）（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间是kπ-
，kπ+
]（k∈Z），或[kπ+
，kπ+
]（此时a与b均为负值），（k∈Z），故③错误；
对于④，|f（
）|=2|sin（
+
）|=
，
|f（
）|=2|sin（
+
）|=2sin
＞2sin
=
，故④错误；
对于⑤，存在经过点（a，b）=（
，1）的直线与函数f（x）的图象相交，正确．
故答案为：①⑤．
| π |
| 6 |
∴x=
| π |
| 6 |
∴f（0）=f（
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴b=
| ||
| 3 |
| 3 |
∴f（x）=2sin（2x+
| π |
| 6 |
对于①，f（-
| π |
| 12 |
对于②，f（
| π |
| 6 |
∴f（x）的图象关于（
| π |
| 6 |
对于③，由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
或由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴f（x）的单调递增区间是kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
对于④，|f（
| 7π |
| 12 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 3 |
|f（
| π |
| 5 |
| 2π |
| 5 |
| π |
| 6 |
| 13π |
| 30 |
| 10π |
| 30 |
| 3 |
对于⑤，存在经过点（a，b）=（
| 3 |
故答案为：①⑤．
点评：本题考查两角和的正弦，着重考查正弦函数的单调性、对称性，考查分析综合应用能力，属于难题．
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，则z=(
)x•(
)y的最小值为（ ）
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A、
| |||
B、
| |||
C、2
| |||
| D、4 |
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