Question

6．若两个非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，则向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角是（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，得到到$|\overrightarrow{a}|$、$|\overrightarrow{b}|$的关系及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，然后利用向量的数量积公式求出量$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角．

解答 解：∵$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2|{\overrightarrow a}|$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=4${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，
$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$，
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=-2$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，
设$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为θ，
cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$．
∵θ∈[0°，180°]，
∴θ=120°．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求向量的夹角公式，是中档题．