Question

求下列双曲线的标准方程．
（1）与椭圆

x2

16

+

y2

25

=1共焦点，且过点（-2，

10

）的双曲线；
（2）渐近线为x±2y=0且过点（2，2）的双曲线．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件双曲线方程设为：

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，把点（-2，

10

）代入，能求出双曲线方程．
（2）依题意设双曲线方程为x²-4y²=λ（λ≠0），把点（2，2）代入能求出双曲线方程．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

16

+

y2

25

=1的焦点为（0，±3），
∴所求双曲线方程设为：

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，…（2分）
又点（-2，

10

）在双曲线上，∴

10

a2

-

4

9-a2

=1，
解得a²=5或a²=18（舍去）．…（5分）
∴所求双曲线方程为

y2

5

-

x2

4

=1．…（6分）
（2）依题意设双曲线方程为x²-4y²=λ（λ≠0），…（8分）
把点（2，2）代入上述方程求得λ=-12，…（11分）
∴设所求双曲线方程为：x²-4y²=-12，
即为

y2

3

-

x2

12

=1…（12分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．