Question

记关于x的不等式

x-a

x-1

＜0的解集为P，不等式|x-1|＜1的解集为Q．
（1）若a=3，求P；
（2）若a=-1，求P∪Q．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,并集及其运算

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）若a=3，由关于x的不等式可得

x-3

x-1

＜0，故有（x-1）（x-3）＜0，解此一元二次不等式求得P．
（2）若a=-1，由关于x的不等式可得

x+1

x-1

＜0，即（x-1）（x+1）＜0，求得 P，再解绝对值不等式求得Q，再根据两个集合的并集的定义求得P∪Q．

解答： 解：（1）若a=3，由关于x的不等式

x-a

x-1

＜0可得

x-3

x-1

＜0，故有（x-1）（x-3）＜0，
解得 1＜x＜3，故P=（1，3）．
（2）若a=-1，由关于x的不等式

x-a

x-1

＜0可得

x+1

x-1

＜0，即（x-1）（x+1）＜0，
解得-1＜x＜1，故P=（-1，1）．
由不等式|x-1|＜1可得-1＜x-1＜1，解得 0＜x＜2，故Q=（0，2），
故P∪Q=（-1，2）．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．