Question

已知函数f（x）=2

3

sin（π-ωx）cosωx+cos（π+2ωx）（ω＞0）的最小正周期为π，
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若a∈[0，

π

4

]时有f（a）=

6

5

，试求cos2a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用恒等变换求出f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）以最小正周期为突破口求出函数的解析式，进一步确定单调区间．
（2）根据f（a）=

6

5

，进一步利用三角关系式解得：cos（2α-

π

6

）=

4

5

，再利用角的变换求的结果．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sin（π-ωx）cosωx+cos（π+2ωx）=

3

sin2ωx-cos2ωx=2sin（2ωx-

π

6

），
由于函数的最小正周期为π，
解得：ω=1，
所以：f（x）=2sin（2x-

π

6

）；
令：2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈Z），
故单调递增区间为：x∈[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（2）f（a）=

6

5

，
所以：sin（2α-

π

6

）=

3

5

，
2α-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，
cos（2α-

π

6

）=

4

5

，
cos2α=cos[（2α-

π

6

）+

π

6

]=cos（2α-

π

6

）cos

π

6

-sin（2α-

π

6

）sin

π

6

=

4 3 -3

10

；
故答案为：（1）x∈[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）．
（2）cos2α=

4 3 -3

10

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数解析式的求法，函数的单调区间，及三角函数的值和角的变换问题．